Linnikin lause vastaa analyyttisen lukuteorian alalla Dirichlet’n aritmeettisia lukujonoja koskevan lauseen pohjalta nousevaan luonnolliseen kysymykseen.
Olkoot a ja d sellaisia keskenään jaottomia positiivisia kokonaislukuja, että 1 ≤ a ≤ d. Tällöin aritmeettinen lukujono
a + nd,
missä n käy läpi kaikki positiiviset kokonaisluvut, sisältää Dirichlet'n lauseen mukaan äärettömän määrän alkulukuja.
Olkoon p(a,d) näistä pienin kullakin a ja d.
Linnikin lauseen mukaan on tällöin olemassa sellaiset positiiviset reaaliluvut c ja L, että:
Lause on nimetty Juri Vladimirovitš Linnikin mukaan. Hän todisti sen vuonna 1944. Linnik, Yu. V. On the least prime in an arithmetic progression I. The basic theorem Rec. Math. (Mat. Sbornik) N.S. 15 (57) (1944), pages 139–178Linnik, Yu. V. On the least prime in an arithmetic progression II. The Deuring-Heilbronn phenomenon Rec. Math. (Mat. Sbornik) N.S. 15 (57) (1944), pages 347–368 Vaikka Linnikin todistuksen mukaan c ja L ovat efektiivisesti laskettavissa, hän ei esittänyt niille numeerisia arvoja.
Vakiota L kutsutaan Linnikin vakioksi. Seuraava taulukko kuvaa edistysaskeleita sen arvon laskemisessa.
L ≤ Julkaisuvuosi Tekijä 10000 1957 PanPan Cheng Dong On the least prime in an arithmetical progression. Sci. Record (N.S.) 1 (1957) pp. 311–313 5448 1958 Pan 777 1965 ChenChen Jingrun On the least prime in an arithmetical progression. Sci. Sinica 14 (1965) pp. 1868–1871 630 1971 Jutila 550 1970 JutilaJutila, M. A new estimate for Linnik's constant. Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I No. 471 (1970) 8 pp. 168 1977 ChenChen Jingrun On the least prime in an arithmetical progression and two theorems concerning the zeros of Dirichlet's $L$-functions. Sci. Sinica 20 (1977), no. 5, pp. 529–562 80 1977 JutilaJutila, M. On Linnik's constant. Math. Scand. 41 (1977), no. 1, pp. 45–62 36 1977 GrahamApplications of sieve methods Ph.D. Thesis, Univ. Michigan, Ann Arbor, Mich., 1977 20 1981 GrahamGraham, S. W. On Linnik's constant. Acta Arith. 39 (1981), no. 2, pp. 163–179 (tehty ennen Chenin 1979 artikkelin ilmestymistä) 17 1979 ChenChen Jingrun On the least prime in an arithmetical progression and theorems concerning the zeros of Dirichlet's $L$-functions. II. Sci. Sinica 22 (1979), no. 8, pp. 859–889 16 1986 Wang 13.5 1989 Chen and LiuChen Jingrun and Liu Jian Min On the least prime in an arithmetical progression. III. Sci. China Ser. A 32 (1989), no. 6, pp. 654–673Chen Jingrun and Liu Jian Min On the least prime in an arithmetical progression. IV. Sci. China Ser. A 32 (1989), no. 7, pp. 792–807 5.5 1992 Heath-BrownHeath-Brown, D. R. Zero-free regions for Dirichlet L-functions, and the least prime in an arithmetic progression, Proc. London Math. Soc. 64(3) (1992), pp. 265–338
Lisäksi Heath-Brownin tuloksessa vakio c on efektiivisesti laskettavissa.
Tiedetään, että L ≤ 2 lähes kaikilla kokonaisluvuilla d.E. Bombieri, J. B. Friedlander, H. Iwaniec. "Primes in Arithmetic Progressions to Large Moduli. III", Journal of the American Mathematical Society 2(2) (1989), pp. 215–224.
Yleistetyn Riemannin hypoteesin avulla voidaan osoittaa, että
missä on Eulerin funktio.
On myös esitetty olettamus, että:
Lähteet
Luokka:Analyyttinen lukuteoria