thumb|right|I jagten på en ny bil vælger spilleren dør 1. Spilstyreren åbner derefter dør 3, hvilket afslører en ged og tilbyder nu spilleren at vælge dør 2 i stedet for dør 1. Bør spilleren vælge om? Monty Hall-problemet er en opgave, som handler om sandsynlighed, og som er løst baseret på det amerikanske tv-program Let's Make a Deal. Problemet har fået navn efter programmets vært, Monty Hall.
En vidt kendt udgave af Monty Hall-problemet optrådte i et brev til Marilyn vos Savants Spørg Marilyn-klumme i magasinet Parade:vos Savant, Marilyn (1990). "Ask Marilyn" klumme, Parade Magazine p. 12 (17 Februar 1990). [citeret i Bohl et al., 1995] Antag, at du medvirker i et tv-program, og du får givet muligheden for at vælge mellem tre døre: Bag en af dørene er der en bil; bag de to andre en ged. Du vælger en dør, lad os sige nr. 1, og spilstyreren, som ved, hvad der er bag dørene, åbner en anden dør, lad os sige nr. 3, bag hvilken der befinder sig en ged. Han spørger dig nu: "Vil du hellere vælge dør nr. 2?" Er det nu en fordel af vælge om?
Problemet kaldes til tider også for Monty Hall-paradokset, da det på sin vis er et paradoks, fordi løsningen er kontraintuitiv. Da problemet og dets løsning blev givet af Marilyn vos Savant, skrev omkring 10.000 læsere ind, deriblandt flere hundrede matematikprofessorer, for at fortælle hende, at hun tog fejl. En del af kontroversen omhandlede, at problemets betingelser i Parade-klummen ikke klart specificerede spilstyrerens opførsel, hvorfor det teknisk set var tvetydigt. På trods af dette forekommer det ofte, at folk har svært ved at tro på det korrekte svar, også hvor der er givet utvetydige problembetingelser, forklaringer, simulationer og formelle matematiske beviser.
Problem og løsning Problemet Den ovenfor gengivne udgave af problemet undlader et kritisk aspekt af spilstyrerens opførsel, hvilket gør problemet tvetydigt fra et matematisk synspunkt. I en mere præcis fremstilling af problemetMueser, Peter R. and Granberg, Donald (maj 1999). "The Monty Hall Dilemma Revisited: Understanding the Interaction of Problem Definition and Decision Making", University of Missouri arbejdspapir 99-06. Hentet 5. juli 2005. er spilstyreren tvunget til altid at åbne en dør, som afslører en ged og altid tvunget til at tilbyde spilleren at vælge om: En helt igennem ærlig spilstyrer har placeret en bil bag en af tre døre. Bag de to andre døre er der en ged. Du har ingen forudgående viden der tillader dig at skelne mellem hvilken af de tre døre bilen ligger gemt bag. "Først vælger du en dør", siger han. "Derefter vil jeg åbne en af de to andre døre, bag hvilken der gemmer sig en ged. Efter jeg har vist dig geden, så får du lov til at foretage dit endelig valg; om du vil holde på den dør du startede med, eller om du vil vælge om og tage den sidste dør. Du vinder, hvad end der er bag døren." Du begynder ved at vælge dør nummer 1. Spilstyreren afslører, at der bag dør nummer 3 gemmer sig en ged. Øges spillerens sandsynlighed for at vinde en bil ved at skifte om til dør nummer 2?
I den oprindelig hensigt med problemet ligger den antagelse, at den specifikke dør, som spilstyreren åbner, ikke bibringer nogen information om spillerens første valg er rigtigt eller forkert. Den simpleste måde at gøre dette eksplicit er at tilføje en betingelse, således at spilstyreren skal åbne en af de to tilbageværende døre tilfældigt, hvis spilleren oprindeligt har valgt bilen. Kort kan problemet summeres op i følgende betingelser: Spilleren er præsenteret for tre døre (1, 2, 3), bag en af dørene er en bil – bag de andre er en ged. Spilleren ved ikke, hvad der er bag nogen af dørene. Hvis spilleren åbner den rigtige dør, vinder spilleren bilen. Sandsynligheden for at bilen er bag en bestemt dør er 1/3. Spilleren vælger en dør. Spilstyreren åbner en af de to andre døre, der indeholder en ged. Har spilleren allerede valgt den dør, som skjuler bilen, vælger han en tilfældig dør. Spilstyreren giver spilleren chancen for at vælge om. Der er nu to lukkede døre tilbage, en af dem indeholder bilen. Er det fornuftigt at vælge den anden dør?
Løsningen Så snart spilstyreren har åbnet en dør, må bilen befinde sig bag en af de to tilbageværende døre. Spilleren har ingen mulighed for at vide, hvilken af de to døre der gemmer på bilen, hvilket leder mange til at tro, at der er den samme sandsynlighed for, at præmien ligger gemt bag hver af de to døre, og at det derfor ikke har nogen betydning at vælge om. Omend denne antagelse om den samme sandsynlighed er intuitivt fristende, så er den faktisk forkert. Spillerens chance for vinde bilen fordobles ved at vælge om, når spilstyreren tilbyder det.
Sandsynligheden for at man vælger døren med bilen ved det første valg er 1/3, hvilket også vil være chancen for at vinde bilen, hvis man holder fast på sit første valg. På den anden side er sandsynligheden for at vælge en dør, som skjuler en ged 2/3, og en spiller, som oprindeligt har valgt en ged, vinder bilen ved at vælge om. Men spilstyreren ved, hvad der er bag dørene, og i begge tilfælde skal spilstyreren åbne en dør, som gemmer på en ged. I to tredjedele af tilfældene, hvor spilleren først havde valgt en dør med en ged bagved, skal spilstyreren nødvendigvis udrydde den dør, som skjuler den anden ged, og lader på den måde døren med bilen være tilbage.
1. 400x125px Spilstyreren afsløreren af gederne80px 400x125px Spilleren vælger bilen At vælge om medfører tab. 2. 400x125px Spilstyreren skalafsløre ged B80px 400x125px Spilleren vælger ged A At vælge om medfører gevinst. 3. 400x125px Spilstyreren skalafsløre ged A80px 400x125px Spilleren vælger ged B At vælge om medfører gevinst. Spilleren har lige stor sandsynlighed ved start for at vælge bilen, ged A eller ged B. At vælge om resulterer i gevinst 2/3 af gangene.
Mere formelt er der tre mulige udfald, svarende til spillerens oprindelige valg, hver med sandsynlighed 1/3, når spilleren bliver spurgt om at vælge om:
Spilleren valgte oprindeligt døren som skjulte bilen. Spilstyreren har åbnet døren til en af de to geder. Spilleren valgte oprindeligt døren som skjulte ged A. Spilstyreren har åbnet døren til den anden ged. Spilleren valgte oprindeligt døren som skjulte ged B. Spilstyreren har åbnet døren til den anden ged.
I udfald to og tre vinder spilleren bilen ved at vælge den anden dør. Kun i udfald et er det ufordelagtigt at skifte dør, efter spilstyreren har åbnet en dør. Med andre ord: I to ud af tre tilfælde kan det betale sig at skifte dør, og i et ud af tre tilfælde kan det ikke betale sig. Ens chance for at vinde fordobles altså ved at vælge om, når spilstyreren tilbyder det.
Løsningen ville være anderledes, hvis spilstyreren ikke vidste, hvad der var gemt bag de forskellige døre, eller hvis spilstyreren havde muligheden for ikke at tilbyde spilleren at vælge om. Nogle fremstillinger af problemet, herunder det i Parade Magazine, udelukker ikke eksplicit disse muligheder. Hvis eksempelvis spilstyreren kun tilbød muligheden for at vælge om, hvis spilleren oprindeligt valgte bilen, så ville sandsynligheden for at vinde ved at vælge om være 0%. I problemet, som er givet af Mueser og Granberg, er det, fordi spilstyreren skal afsløre en ged og skal tilbyde spilleren at vælge om, at spilleren har 2/3 sandsynlighed for at vinde ved at vælge om.
Hjælp til forståelse Hvorfor sandsynligheden er 2/3 Den mest udtalte indvending mod løsningen er, at fortiden kan ignoreres, når man skal vurdere sandsynligheden – at det er irrelevant hvilken dør spilleren oprindeligt vælger, og spilstyreren åbner. Hvis spilstyreren åbnede en af de to tilbageværende døre tilfældigt og derved kom til at afsløre en ged, ville der faktisk være en 50/50 chance for gevinst blandt de to andre døre. I problemet, som det oprindeligt er fremstillet, har spillerens valg derimod indflydelse på spilstyrerens mulige valg.
Denne forskel kan demonstreres ved forskellen på det problem, som er opstillet af Mueser og Granberg, og problemet i vos Savants klumme fra november 2006. I denne udgave glemmer Monty Hall, hvilken dør bilen er bag. Han åbner en af dørene tilfældigt og er lettet over at finde en ged. På spørgsmålet, om man bør vælge om, svarede vos Savant korrekt: "Hvis spilstyreren er uvidende, så gør det ingen forskel om man vælger om eller fastholder sit første valg. Hvis spilstyreren ved det, så skift".vos Savant, Marilyn (2006). "Ask Marilyn" klumme, Parade Magazine p. 6 (26 November 2006)
I denne udgave af problemet har spilleren altså samme sandsynlighed for at vinde ved at vælge om eller ikke. Der er seks muligheder for, hvad der kan ske, hver med sandsynlighed 1/6:
Spilleren vælger Spilstyreren afslører Den tredje dør indeholder Ged A Bilen Ged B Ged B Bilen Ged A Ged A Ged B Bilen Ged B Ged A Bilen Bilen Ged A Ged B Bilen Ged B Ged A
I de to første tilfælde ovenfor afslører spilstyreren bilen. Hvad der sker i disse tilfælde er uvist – måske vinder eller taber deltageren per automatik. I problemet, som det er fremstillet her, har spilstyreren derimod afsløret, at døren, han åbnede, skjulte en ged, så kun fire af de seks tilfælde er mulige, og der er den samme sandsynlighed for hver af dem. I to af de fire tilfælde resulterer omvalg i gevinst, og i de to andre resulterer det i en ged. At fastholde sit oprindelige valg medføre de samme odds: et tab i to tilfælde og en gevinst i to tilfælde.
Spillerens sandsynlighed for at vinde ved at vælge om øges til 2/3 i problemet. hvor 'spilstyreren ved hvad der er bag dørene', fordi han i de to tilfælde ovenfor, hvor værten afslørede bilen, er tvunget til at afsløre den tilbageværende ged i stedet. I tabellen nedenfor er spilstyreren valg fra tabellen ovenfor fremhævet. Fordi han ikke kan afsløre bilen, så er hans opførsel ændret i to tilfælde:
Spilleren vælger Spilstyreren afslører Den tredje dør indeholder Ged A Ged B Bilen Ged B Ged A Bilen Ged A Ged B Bilen Ged B Ged A Bilen Bilen Ged A Ged B Bilen Ged B Ged A
Denne ændring i spilstyrerens opførsel medfører, at det bliver dobbelt så sandsynligt, at bilen er gemt bag den tredje dør, og dette er årsagen til, at der er gevinst i dobbelt så mange tilfælde ved at vælge om i det oprindelige problem.
Årsager til misforståelsen En årsag til, at Monty Hall-problemet er så kontraintuitivt, kan være at spilstyreren forventes at være vildledende. Hvis spilstyreren kun åbner en dør, når spilleren har valgt korrekt, så bør spilleren naturligvis aldrig vælge om, efter at spilstyreren har åbnet en dør.
Andre mulige årsager til misforståelsen er, at problemet fremstilles, som om spilstyreren overrasker spilleren ved at åbne døren og tilbyde ham muligheden for at vælge om. Dette kan give det indtryk, at spilstyreren prøver at forvirre spilleren, som har valgt bilen og betyder, at spilleren ikke kender reglerne i forvejen. Hvis spilleren ikke kendte reglerne, ville det ikke ændre på sandsynligheden i det specifikke tilfælde, men det ville betyde at spilleren ikke definitivt kunne træffe det optimale valg. Denne forvirring er fjernet i den utvetydige fremstilling af problemet, hvor spilstyreren eksplicit forklarer reglerne til deltageren i forvejen.
En tredje årsag til misforståelsen kunne stamme fra hvordan problemet er fremstillet. Hvis en af antagelserne (antagelsen at spilstyreren ved, bag hvilken dør bilen er gemt, og antagelsen at spilstyreren aktivt forsøger at modarbejde spilleren) undlades fra formuleringen af problemet, så er der den samme sandsynlighed for at få gevinst ved at vælge om eller at fastholde det første valg.
At øge antallet af døre