frame|right|Som illustreret er der et vejintegrale for enhver vej. Med Euler-Lagrange-ligningen kan vejen, der minimerer integralet, findes. En Euler-Lagrange-ligning er en partiel differentialligning, for hvilken det gælder, at løsningen er en mængde af funktioner, som opfylder at den første afledte for en given funktional (se funktional-afledte) er lig nul. Euler-Lagrange-ligningen optræder bl.a. inden for analytisk mekanik som betingelsen for stationering af virkningsfunktionalen for et givent mekanisk system.

Ligningen Givet et funktional på formen

da er den første funktional-afledte mht. ved givet ved:

er stationær, når den funktional-afledte er lig nul, hvorved Euler-Lagrange-ligningerne fås:

Hvis ikke eksplicit afhænger af , reduceres ligningen til Beltrami-identiteten:

hvor er konstant.

Udledning Et funktional på formen

skal stationeres:

Variationen i kan skrives ved variationerne i og :

hvor

Det kræves desuden, at variationen i hver ende er nul:

Pga. produktreglen gælder:

Og dermed:

Dette indsættes i lign. , og integralet splittes op:

Pga. lign. gælder:

Derfor:

Integralet består nu af to faktorer. Siden integralet altid skal være nul, og det skal gælde for alle variationer af , må den første faktor være nul:

Dermed er Euler-Lagrange-ligningen udledt.

Endimensionelt eksempel Et bestemt mekanisk system beskrevet ved én koordinat og med potentialet har Lagrangefunktionen:

Dvs. at den kinetiske energi er givet som for en klassisk punktmasse med massen og hastigheden: , mens den potentielle energi afhænger af positionen (den potentielle energi ville fx i et homogent tyngdefelt være givet på formen:

Systemet vil udvikle sig således at virkningen stationeres,Goldstein, Herbert; Poole, Charles; Safko, John. "Variational Principles and Lagrange's Equations", Classical Mechanics (3. udgave), Addison Wesley, s. 34-35.

Systemets dynamik er derfor beskrevet ved Euler-Lagrange-ligningen:

Eftersom den dobbelte tidsafledte mht. positionen er accelerationen og den positionsafledte mht. det negative potentiale svarer til kraftkomposanten i -retningen, svarer til Newtons anden lov.

Kildehenvisninger

Kategori:Variationsregning Kategori:Differentialligninger