Metoda ćakrawala (चक्रवाल विधि) – algorytm pozwalający rozwiązywać nieoznaczone równania kwadratowe, w tym równanie Pella. Przypisywana jest zazwyczaj Bhaskarze II (ok. 1114–1185)Hoiberg & Ramchandani – Students’ Britannica India: Bhaskaracharya II, s. 200.Kumar, s. 23., choć niektórzy przypisują ją Dźajadewie (ok. 950–1000)Plofker, s. 474.. Jayadeva odkrył, że metoda Brahmagupty rozwiązywania tego typu równań może być uogólniona, a następnie opisał ogólny proces, który został dopracowany przez Bhaskarę II w pracy Bidźaganita. Algorytm został nazwany metodą ćakrawala od słowa ćakra, oznaczającego koło w sanskrycie, co odnosi się do jego cyklicznej naturyGoonatilake, s. 127, 128.. E.O. Selenius stwierdził, że żadne z ówczesnych, ani późniejszych dokonań matematyki europejskiej nie dorównuje potędze matematycznej złożoności metody Bhaskary.
Metoda znana jest także jako metoda cykliczna i zawiera ślady indukcji matematycznejCajori (1918), s. 197„Metoda dowodzenia zwana „indukcją matematyczną” narodziła się w wielu miejscach jednocześnie. Została znaleziona u Szwajcara Jakuba Bernoulliego, Francuza B. Pascala i P. Fermata i Włocha F. Maurolycusa [...] Jeśli wgłębić się w lekturę można odnaleźć ją wcześniej, w dziełach indyjskich i greckich, między innymi w „cyklicznej metodzie” Bhaskary i w dowodzie Euklidesa o tym, że zbiór liczb pierwszych jest nieskończony.”..
Historia Brahmagupta w 628 r. n.e. badał nieoznaczone równania kwadratowe, w tym równanie Pella
dla całkowitych wartości i Brahmagupta potrafił rozwiązać je dla wielu, choć nie wszystkich wartości
Dźajadewa (IX wiek) i Bhaskara (XII wiek) zaproponowali pierwsze pełne rozwiązanie powyższego równania, używając metody ćakrawala do rozwiązania przypadku i
Równanie to zostało po raz pierwszy rozwiązane w Europie przez Williama Brounckera w latach 1657–1658 w odpowiedzi na wyzwanie rzucone przez Fermata. W całości metoda została po raz pierwszy opisana przez Lagrange’a w 1766. Metoda Lagrange’a wymagała obliczania dwudziestu jeden kolejnych rozwinięć ułamka łańcuchowego pierwiastka z 61, podczas gdy metoda ćakrawala jest znacznie prostsza. Selenius, ocenia metodę ćakrawala, mówiąc:
„Metoda ta jest najkrótszym i najlepiej przybliżającym algorytmem, który, dzięki swoim właściwościom, przy minimalnym wysiłku i bez potrzeby obliczania dużych liczb, podaje najlepsze rozwiązanie równania. Metoda ćakrawala wyprzedziła metody europejskie o ponad tysiąc lat. Żadne europejskie osiągnięcie na polu algebry w czasach późniejszych niż czasy Bhaskary nie może się równać cudownej złożoności i pomysłowości tej metody”.
Hermann Hankel nazywa metodę ćakrawala „najdoskonalszym wynikiem w teorii liczb przez Lagrangem”Kaye (1919), s. 337..
Opis metody Metoda ćakrawala pozwala rozwiązywać równanie Pella dzięki użyciu tożsamości Brahmagupty:
Pozwala to „łączyć” (samāsa) dwie trójki i będące rozwiązaniami równania
aby wygenerować nową trójkę:
W metodzie ogólnej łączy się dowolną trójkę będącą znanym rozwiązaniem z trójką trywialną uzyskując nową trójkę z parametrem Równanie z nowo uzyskaną trójką dzieli się przez (przekształcenie to nosi nazwę lematu Bhaskary):
lub, ponieważ znaki wyrażeń wewnątrz nawiasów nie grają roli,
Otrzymana nowa trójka liczb niekoniecznie jest całkowita. Jeśli jednak wystartowaliśmy od względnie pierwszych i (tj. takich, że ) i wybierzemy całkowite tak, aby było całkowite, to wtedy pozostałe dwa wyrażenia i także będą całkowite.
Ze wszystkich odpowiadających wybiera się takie, aby wartość bezwzględna była najmniejsza. Wtedy trójkę zastępuje się nową trójką uzyskaną z tego równania i cały proces zaczyna się od nowa, aż do momentu uzyskania trójki, dla której Lagrange w 1768 roku udowodnił, że taki algorytm zawsze się zakończy. Brahmagupta znalazł również rozwiązania w przypadkach, gdy wynosi ±1, ±2, or ±4, na których można zakończyć algorytm.
Przykłady Znajdźmy w liczbach całkowitych rozwiązanie równania
W pierwszym kroku znajdujemy znaną trójkę spełniającą równanie Zauważmy, że
Trójkę (2, 1, -3) łączymy z trójką trywialną, uzyskując:
Wybierając uzyskujemy trójkę Powtarzając algorytm otrzymujemy kolejne równanie:
Wybierając ostatecznie otrzymujemy trójkę co oznacza, że
Przypadek Znalezienie rozwiązań całkowitych równania
ustanowione przez Fermata jako wyzwanie, zostało podane przez Bhaksarę jako przykład.
Rozpoczynamy od znalezienia rozwiązania równania
Przyjmując równe 1, uzyskujemy trójkę Łącząc ją z trójką trywialną otrzymujemy która z lematu Bhaskary przekształcana jest do postaci:
Aby 3 dzieliło i było najmniejsze, wybieramy uzyskując trójkę Ponieważ możemy użyć pomysłu Brahmagupty, dzieląc uzyskaną trójkę przez sprowadzając ją do postaci która po połączeniu dwa razy z sobą samą daje a następnie
W końcu łączy się dwie kopie trójki otrzymując Jest to najmniejsze rozwiązanie całkowite.
Przypadek Przypuśćmy, że chcielibyśmy rozwiązać równanie
dla i Przykład podany w tej sekcji (przy oznaczeniach na na itd.) można znaleźć w: .
Rozpoczynamy od pewnego rozwiązania równania
Możemy przyjąć otrzymując
W każdym kroku algorytmu znajdziemy takie, że dzieli i jest najmniejsze, a następnie zastąpimy trójkę przez trójkę
W pierwszej iteracji otrzymujemy Chcemy znaleźć dodatnie takie, że dzieli tj. 3 dzieli i jest minimalne. Pierwszy warunek mówi, że jest postaci (np. 1, 4, 7, 10,... itd.), a najmniejsza wartość wyrażenia zachodzi dla Z trójki otrzymujemy nową:
Otrzymujemy więc nowe rozwiązanie:
Pierwsza część cyklicznego algorytmu jest zakończona.
Druga iteracja Teraz powtarzamy proces: mamy Chcemy znaleźć takie że dzieli tzn. 6 dzieli i jest minimalne. Pierwszy warunek mówi nam, że jest postaci (np. 5, 11, 17,...), a wartość jest najmniejsza dla W podobny sposób jak poprzednio otrzymujemy nowe rozwiązanie równania:
Trzecia iteracja Aby 7 dzieliło musi zachodzić a z takich wybieramy otrzymując kolejną trójkę spełniającą równanie
Rozwiązanie końcowe Moglibyśmy powtarzać metodę cykliczną (która zakończyłaby się po siedmiu iteracjach), ale ponieważ prawa strona równania jest równa jednej z liczb ±1, ±2, ±4, możemy użyć obserwacji Brahmagupty: łącząc trójkę z sobą samą, otrzymujemy
czyli rozwiązanie w liczbach całkowitych równania:
Dzięki niemu otrzymujemy również przybliżenie
z dokładnością rzędu ok.
Przypisy
Bibliografia Florian Cajori (1918), Origin of the Name „Mathematical Induction”, „The American Mathematical Monthly” 25 (5), s. 197–201. George Gheverghese Joseph, The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics (1975). G.R. Kaye, Indian Mathematics, „Isis” 2:2 (1919), s. 326–356. C.O. Selenius, Rationale of the chakravala process of Jayadeva and Bhaskara II, „Historia Mathematica” 2 (1975), s. 167–184. C.O. Selenius, Kettenbruch theoretische Erklarung der zyklischen Methode zur Losung der Bhaskara-Pell-Gleichung, „Acta Acad. Abo. Math. Phys.” 23 (10) (1963). Hoiberg, Dale & Ramchandani, Indu (2000). Students’ Britannica India. Mumbai: Popular Prakashan. . Goonatilake, Susantha (1998). Toward a Global Science: Mining Civilizational Knowledge. Indiana: Indiana University Press. . Kumar, Narendra (2004). Science in Ancient India. Delhi: Anmol Publications Pvt Ltd. . Ploker, Kim (2007) „Mathematics in India”. The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook New Jersey: Princeton University Press. .
Linki zewnętrzne
Kategoria:Równania Kategoria:Algorytmiczna teoria liczb Kategoria:Historia matematyki