mały|Redukcja teleskopowa przypomina składanie teleskopu, w którym kolejne segmenty wsuwają się w siebie i znikają, pozostawiając jedynie elementy skrajne. Teleskopowość – własność wyrażeń występujących w iterowanych działaniach dwuargumentowych, polegająca na ich redukcji teleskopowej, czyli skracaniu kolejnych wyrazów po rozwinięciu.
Najczęściej rozważa się wyrażenia postaci
lub
,
gdzie jest funkcją określoną na zbiorze liczb naturalnych.
Definicja
Niech oraz niech .
Mówimy, że wyrażenie (lub funkcja) ma własność teleskopową względem funkcji , jeżeli spełniona jest jedna z zależności:
Przypadek addytywny
.
Wówczas suma
ma postać teleskopową.
Przypadek multiplikatywny
Jeżeli , to
.
Wówczas iloczyn
ulega teleskopowej redukcji.
Związek z operatorem różnicowym
Niech oznacza operator różnicy skończonej:
.
Wtedy w przypadku addytywnym zachodzi:
.
Jest to analogia do twierdzenia Newtona-Leibniza:
.
Analogicznie dla iloczynów:
.
Przykłady
Suma teleskopowa
Rozkład:
czyli dla mamy
.
Stąd:
.
Iloczyn teleskopowy
dla , więc
.
Przykład z ciągiem Fibonacciego
Niech oznacza ciąg Fibonacciego:
.
Wówczas:
.
Przypisy
Kategoria:Analiza matematyczna Kategoria:Matematyka dyskretna Kategoria:Szeregi